Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC

4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O) . Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.

Vì N là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên DN là trung trực của BC nên DN là phân giác BDC^

Ta có KQC^=2KMC^ (góc nọi tiếp bằng nửa góc ở tâm trong dường tròn (Q))

NDC^=KMC^ (góc nội tiếp cùng chắn cung NC⏜)

Mà BDC^=2NDC ^⇒KQC^=BDC^

Xét 2 tam giác BDC & KQC là các các tam giác vuông tại D và Q có hai góc ở ⇒BCD^=BCQ^ do vậy D, Q, C thẳng hàng nên KQ//PK

Chứng minh tương tự ta có  ta có D, P, B thẳng hàng và DQ//PK

Do đó tứ giác PDQK là hình bình hành nên E là trung điểm của PQ cũng là trung điểm của DK. Vậy D, E, K thẳng hàng (điều phải chứng minh).