Cho đường tròn (O) đường kính BC và một điểm A thuộc đường tròn (O) (A khác C, B) sao cho AB > AC. Vẽ tiếp tuyến Bx của đường tròn (O), qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây cung AB tại I cắ

7/9

Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $BC$ và một điểm $A$ thuộc đường tròn $\left( O \right)$ ($A$ khác $C,\,B$) sao cho $AB > AC$. Vẽ tiếp tuyến $Bx$ của đường tròn $\left( O \right),$ qua $O$ vẽ đường thẳng vuông góc với dây cung $AB$ tại $I$ cắt tia $Bx$ tại $K$.

a) Chứng minh: $IA = IB$ và $OK{\rm{//}}AC$.

b) Chứng minh: $KA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

c) Đoạn thẳng $KC$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $M$, trên tia đối của tia $MB$ lấy điểm $N$ sao cho $M$ là trung điểm của $BN$. Từ $N$ vẽ đường thẳng vuông với $Bx$ tại $P$. Chứng minh: $NK = KB$ và $AC$ đi qua trung điểm của $NP$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Diện tích mảnh vải đó (ảnh 1)

a) Chứng minh: $IA = IB$ và $OK{\rm{//}}AC$.

Xét $\Delta OIB$ và $\Delta OIA$ có: $OI$ chung; \[OB = OA = R\]; \[\widehat {OIB} = \widehat {OIA} = 90^\circ \].

$\Delta OIB = \Delta OIA$ (c.g.c)

$ \Rightarrow IB = IA$ (hai cạnh tương ứng); $\widehat {BOI} = \widehat {AOI}$ (hai góc tương ứng)

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {BAC} = 90^\circ $( góc nội tiếp)

Hay $AC \bot AB$ mà $OK \bot AB$( gt) suy ra $OK{\rm{//}}AC$( đpcm)

b) Chứng minh: $KA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

Xét $\Delta OKB$ và $\Delta OKA$ có: $OK$ chung; \[OB = OA = R\]; \[\widehat {BOK} = \widehat {AOK}\left( {cmt} \right)\]

Do đó $\Delta OKB = \Delta OKA$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat {OBK} = \widehat {OAK} = 90^\circ $ (hai góc tương ứng) nên $OA \bot AK$ tại $A$.

Vậy $KA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ (đpcm)

Xét $\Delta KMB$ và $\Delta KMN$ có: $KM$ chung; \[\widehat {KMB} = \widehat {KMN} = 90^\circ \]; \[MB = MN\]

Do đó $\Delta KMB = \Delta KMN$ (c.g.c)

Suy ra $NK = KB$ (hai cạnh tương ứng)

Gọi $AC \cap PN = \left\{ G \right\};\,BG \cap KO = \left\{ H \right\};\,MH \cap BP = E$

Xét $\Delta BCG$ có $OH{\rm{//}}GC$ ( cmt) và $OB = OC = R$ suy ra $BH = HG$ ( tc)

Xét $\Delta BNG$ có $BH = HG$ ( cmt) và $BM = MN$

suy ra $HM$là đường trung bình của $\Delta BNG$

suy ra $MH{\rm{//}}GN\left( {tc} \right)$ mà $NP{\rm{//}}BP$ suy ra $ME{\rm{//}}BC\left( {tc} \right)$

Xét $\Delta BKO$ có $EH{\rm{//}}BO$ (cmt) suy ra $\frac{E H}{B O} = \frac{K H}{K O} (1)$

Xét $\Delta CKO$ có $MH{\rm{//}}CO$ (cmt) suy ra $\frac{M H}{C O} = \frac{K H}{K O} (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{EH}}{{BO}} = \frac{{MH}}{{CO}}\left( {bc} \right)$ mà $BO = CO$ suy ra $EH = HM$.

Xét $\Delta BGP$ có $EH{\rm{//}}PG$ (cmt) suy ra $\frac{E H}{P G} = \frac{B H}{B G} (3)$

Xét $\Delta BGN$ có $MH{\rm{//}}GN$ (cmt) suy ra $\frac{M H}{G N} = \frac{B H}{B G} (4)$

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{{EH}}{{PG}} = \frac{{MH}}{{GN}}\left( {bc} \right)$ mà $EH = HM$ suy ra $PG = GN$.

Hay $AC$ đi qua trung điểm của $NP$.