Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A (khác B và C). a) Chứng minh rằng nếu A nằm trên (O) thì ABC là một tam giác vuông; ngược lại, nếu ABC là tam giác vuông tại A thì A nằm trên (O).
a) A năm trên \((O)\)\( \Rightarrow OA = OB = OC\). Tam giác \(ABC\) có \(O\) là trung điểm đoạn \(BC\) nên \(AO\) là trung tuyến mà \(AO = \frac{1}{2}BC\). Do đó \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). |
|
Ngược lại tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AO\) là đường trung tuyến
\( \Rightarrow OA = OB = OC\)
Chứng tỏ \(A\) thuộc đường tròn \((O)\).
b) Khi \(A\) là giao điểm của đường tròn ( \({\rm{B}};{\rm{BO}}\) ) với đường tròn \((O)\) Ta có \(OA = OB = AB\) nên tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow \widehat {\rm{B}} = \widehat {{\rm{AOB}}} = 60^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {{\rm{AOC}}} = 180^\circ - \widehat {{\rm{AOB}}}\)(hai góc kề bù) \( = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) |
|
Xét tam giác \(AOC\) cân tại \(O\) có:
\(\widehat {AOC} = 120^\circ (cmt)\)\( \Rightarrow \widehat C = \widehat {OAC} = 30^\circ \)
Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAC} = 180^\circ - (\widehat B + \widehat C) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 30^\circ } \right) = 90^\circ \)
Các góc của tam giác \(ABC\) là \(\widehat {BAC} = 90^\circ ,\widehat B = 60^\circ ,\widehat C = 30^\circ \).
c) Khi \(BC = 6\;{\rm{cm}}\) ta có bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) là \(3\;{\rm{cm}}\).
Gọi \({l_{{\rm{AC}}}}\) là độ dài cung \(AC\) có \({l_{{\rm{AC}}}} = \frac{{120}}{{180}} \cdot \pi \cdot 3 \approx 6,3(\;{\rm{cm}})\)
Gọi \(S\) là diện tích hình quạt nằm trong \((O)\) giới hạn bởi các bán kính \(OA\) và \(OC\), ta có:
\(S = \frac{{120}}{{360}} \cdot \pi \cdot {3^2} \approx 9,4(\;{\rm{cm}})\)