Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A (khác B và C). a) Chứng minh rằng nếu A nằm trên (O) thì ABC là một tam giác vuông; ngược lại, nếu ABC là tam giác vuông tại A thì A nằm trên (O). b

Gọi \(R = \frac{{BC}}{2}\) là bán kính của đường tròn.

a) Nếu A ∈ (O; R) thì OA = R.

Khi đó, tam giác ABC có đường trung tuyến OA bằng một nửa cạnh huyền nên là tam giác vuông với cạnh huyền BC (góc A vuông).

Ngược lại, nếu tam giác ABC vuông tại A thì đường trung tuyến OA bằng một nửa cạnh huyền, nghĩa là \(AO = \frac{{BC}}{2} = R.\)

Do đó điểm A nằm trên (O).

b) (H.5.45) Vì \(BO = \frac{{BC}}{2} = R\) nên khi A là một trong hai giao điểm của (B; BO) với (O) thì tam giác ABO là tam giác đều vì có BO = OA = AB = R.

Do đó \(\widehat {ABO} = \widehat {ABC} = 60^\circ .\)

Theo câu a, tam giác ABC là tam giác vuông và có \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên \(\widehat {BCA} = 30^\circ .\)

c) Từ câu b, ta có \(\widehat {AOB} = 60^\circ ,\) suy ra

Mặt khác, \(R = \frac{{BC}}{2} = \frac{6}{2} = 3\) cm nên độ dài cung AC là \(l = \frac{{120}}{{180}}\pi .3 = 2\pi \) (cm).

Hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OA và OC ứng với cung AC nên diện tích của nó bằng \(S = \frac{{120}}{{360}}\pi {.3^2} = 3\pi \) (cm²).