Cho đường tròn (O) đường kính AD = 4 cm. Vẽ đường tròn (D; 2 cm) cắt đường tròn đường kính AD tại B và C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng.

Vì C, B thuộc đường tròn (O) đường kính AD = 4 cm nên OC = OB = 2 cm.

Vì C, B thuộc đường tròn (D; 2 cm) nên CD = BD = 2 cm.

Tứ giác OBDC có: OB = OC = CD = BD (= 2 cm).

Vậy tứ giác OBDC là hình thoi.

b) Đúng.

Vì OB = OD = BD (= 2 cm) nên DOBD đều. Suy ra \(\widehat {{\rm{OBD}}} = 60^\circ .\)

Vì BC là tia phân giác của \(\widehat {{\rm{OBD}}}\) (do tứ giác OBDC là hình thoi) nên \(\widehat {{\rm{CBD}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{OBD}}} = 30^\circ .\)

Vậy \(\widehat {{\rm{CBD}}} = 30^\circ .\)

c) Đúng.

Vì DABD có BO là đường trung tuyến và BO = \(\frac{1}{2}\)AD nên DABD vuông tại B.

Suy ra \(\widehat {{\rm{ABD}}} = 90^\circ .\)

Ta có: \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{ABD}}} - \widehat {{\rm{CBD}}} = 60^\circ \). Vậy \(\widehat {{\rm{ABC}}} > 50^\circ \).

d) Sai.

Gọi E là giao điểm của OD và BC.

Vì tứ giác OBDC là hình thoi nên OE ^ BC và BE = EC.

Suy ra OE là đường trung trực của BC.

Mà A thuộc OE nên AB = AC.

Do đó, DABC cân tại A.

Mà \(\widehat {{\rm{ABC}}} = 60^\circ \) nên DABC đều.

Vì hình thoi OBDC có E là giao điểm của BD và OD nên ED = OE = 1 cm.

DEBD vuông tại E có: EB = ED. cot\(\widehat {{\rm{CBD}}}\)= 1.cot 30^o = \(\sqrt 3 \;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Do đó, BC = 2EC = 2\(\sqrt 3 \;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Chu vi tam giác ABC đều là: \(3 \cdot 2\sqrt 3 = 6\sqrt 3 \;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Vậy chu vi tam giác ABC nhỏ hơn 20 cm.