Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (O) (C khác A, B) sao cho AC > CB. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây cung AC tại H. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt ti

5/9

Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ và điểm $C$thuộc đường tròn $\left( O \right)$(C khác A, B) sao cho $AC > CB$. Qua $O$ vẽ đường thẳng vuông góc với dây cung $AC$tại $H$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $\left( O \right)$ cắt tia $OH$tại $D$. Đoạn thẳng $DB$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $E$.

a) Chứng minh tứ giác $ADCO$ nội tiếp.

b) Chứng minh: $DH.DO = DE.DB$ và $\widehat {DHE} = \widehat {OBE}$

c) Vẽ dây $CM$ vuông góc với $AB$ tại $K$. Từ $M$kẻ $MI \bot BH$ tại $I$, từ $K$ kẻ $KF \bot BC$ tại $F.$ Chứng minh $F,M,I$ thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ và (ảnh 1)$

a) $\Delta OAC$ cân tại O có OH là đường cao nên cũng là phân giác nên $\widehat {AOH} = \widehat {COH}.$

Do đó $\Delta AOD = \Delta COD$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {DOA} = \widehat {COA} = 90^\circ .$

$\Delta AOD$ vuông tại A nên nội tiếp đường tròn đường kính $OD$

$\Delta COD$vuông tại C nên nội tiếp đường tròn đường kính OD

Do đó bốn điểm $O,A,C,D$cùng thuộc đường tròn đường kính OD nên tứ giác $ADCO$nội tiếp.

b) Ta có $Δ D H A ∽ Δ D A O$ (g.g).

Suy ra $\frac{{DH}}{{DA}} = \frac{{DA}}{{DO}}$ nên $DH.DO = D{A^2}$.

$\widehat {AEB} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó $Δ D E A ∽ Δ D A B$ (g.g).

Suy ra \[\frac{{DE}}{{DA}} = \frac{{DA}}{{DB}}\] nên \[DE \cdot DB = D{A^2}\].

Do đó $DH.DO = DE.DB$ suy ra $\frac{{DH}}{{DB}} = \frac{{DE}}{{DO}}$

Suy ra $Δ D H E ∽ Δ D B O (c.g.c)$ .

Do đó $\widehat {DHE} = \widehat {OBE}$ (hai góc tương ứng).

c) Vì $\Delta MIB$ vuông tại I, $\Delta MKB$ vuông tại K nên cùng nội tiếp đường tròn đường kính $MB.$

Do đó tứ giác $MKIB$ nội tiếp.

Suy ra $\widehat {KMI} = \widehat {KBI}$ hay $\widehat {KMI} = \widehat {ABH}$ (1)

Xét $\Delta ABC$và $\Delta CKF$có: $\widehat {CAB} = \widehat {KCF}$ (cùng phụ $\widehat {ACK}$); $\widehat {ACB} = \widehat {CFK} = 90^\circ $.

Do đó $Δ A B C ∽ Δ C K F$ (g.g).

Suy ra $\frac{{CK}}{{CF}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ nên $\frac{{2CK}}{{CF}} = \frac{{AB}}{{\frac{{AC}}{2}}}$ suy ra $\frac{{CM}}{{CF}} = \frac{{AB}}{{AH}}$.

Lại có $\widehat {CAB} = \widehat {KCF}$(cmt).

Nên suy ra $\widehat {CMF} = \widehat {ABH}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {CMF} = \widehat {KMI}$ nên MI trùng MF.

Do đó $F,M,I$ thẳng hàng.