Cho đường tròn (O) đường kính \[AB\]. Gọi \[H\] là điểm thuộc đoạn thẳng

a) Tứ giác \[MNAC\] có \[\widehat {MNA} + \widehat {MCA} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\]

nên \[MNAC\]là tứ giác nội tiếp.

\[ \Rightarrow \widehat {ACN} = \widehat {AMN}\].

b) Ta có: \[\widehat {ACN} = \widehat {AMN}\]

\[\widehat {AMN} = \widehat {ADC}\] (do MN//DC vì cùng vuông góc với AB)

\[AB \bot CD\] suy ra \[H\] là trung điểm của \[CD\].

Tam giác \[ACD\] là tam giác cân do \[AH\] vừa là đường cao, vừa là trung tuyến.

Suy ra \[\widehat {ADC} = \widehat {ACD}\]. Từ đó ta có: \[\widehat {ACN} = \widehat {ACD}\].

Ta có: \[\widehat {NCO} = \widehat {ACN} + \widehat {ACO} = \widehat {ACD} + \widehat {OAC = }{90^O}\]. Suy ra \[CN \bot CO\].

\( \Rightarrow \Delta NCO\) vuông tại \(C\)\( \Rightarrow C{H^2} = NH.OH\).

c) \[\widehat {ACE} = \widehat {EAC}\] (cùng bằng ).\( \Rightarrow \)\[\Delta AEC\] cân tại \[E\]\[ \Rightarrow E\] thuộc đường trung trực của\[AC\]. Gọi \[F = AE \cap BM\]

Ta có \[C\] thuộc đường tròn đường kính\[FA\]. Nên đường trung trực của \[AC\] phải cắt đường kính \[FA\] tại tâm của đường tròn này. Suy ra \[E\] là trung điểm của\[FA\].

Gọi \[K = CH \cap BE\]. Ta có: \[CH//FA\] nên \[\frac{{CK}}{{FE}} = \frac{{KH}}{{EA}}\left( { = \frac{{BK}}{{BE}}} \right)\].

Mà \[FE = EA\] nên \[CK = KH\]. Vậy \[BE\] đi qua trung điểm của \[CH\].