Cho đường tròn ( O ) đường kính AB . Dây cung MN vuông góc với AB , ( AM < BM ). Hai đường thẳng BM và NA cắt nhau tại K . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ K đến đường thẳng

1/2

Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$. Dây cung $MN$ vuông góc với $AB$, ($AM < BM$). Hai đường thẳng $BM$ và $NA$ cắt nhau tại $K$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $K$ đến đường thẳng $AB$.

a) Chứng minh tứ giác $AHKM$ nội tiếp trong một đường tròn.

b) Chứng minh rằng $NB\;.\;HK = AN\;.\;HB$.

c) Chứng minh $HM$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho đường tròn $\left( O \right)$ đư (ảnh 1)$

a) Chứng minh tứ giác $AHKM$ nội tiếp trong một đường tròn.

+) Tứ giác $AHKM$ có: $\widehat {AHM} = 90^\circ $ (vì $KH \bot AB$)

và $\widehat {AMB} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $ \Rightarrow \widehat {AMK} = 90^\circ $ (kề bù với $\widehat {AMB}$)

Suy ra tứ giác $AHKM$ nội tiếp đường tròn đường kính $AK$.

b) Chứng minh rằng: $NB\;.\;HK = AN\;.\;HB$.

Xét $\Delta ANB$ và $\Delta KHB$ có:

+) $\widehat {ANB} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $ \Rightarrow \widehat {ANB} = \widehat {KHB} = 90^\circ $;

+) Đường kính $AB \bot MN \Rightarrow A$ là điểm chính giữa (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau);

Suy ra

$ \Rightarrow \frac{{AN}}{{NB}} = \frac{{KH}}{{HB}}$

$ \Rightarrow NB\;.\;HK = AN\;.\;HB$.

c) Chứng minh $HM$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

$Cho đường tròn $\left( O \right)$ đư (ảnh 2)$

+) Ta có $HM$ giao với đường tròn $\left( O \right)$ tại $M$, ta phải chứng minh $HM \bot OM$. Thật vậy:

Tứ giác $AHKM$ nội tiếp $ \Rightarrow \widehat {HMK} = \widehat {HAK}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn );

$\widehat {HAK} = \widehat {NAB}$ (hai góc đối đỉnh);

$\widehat {NAB} = \widehat {MAB}$ ($AB \bot MN \Rightarrow B$ là điểm chính giữa , hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau);

$\widehat {MAB} = \widehat {OMA}$ ($\Delta OAM$ cân tại $O$);

$ \Rightarrow \widehat {HMK} = \widehat {OMA}\left( { = \widehat {HAK} = \widehat {NAB} = \widehat {MAB}} \right) \Rightarrow $ $\widehat {HMK} + \widehat {HMA} = \widehat {OMA} + \widehat {HMA}$;

Mà $\widehat {HMK} + \widehat {HMA} = \widehat {AMK} = 90^\circ $ (kề bù với $\widehat {AMB} = 90^\circ $, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn);

$ \Rightarrow \widehat {OMA} + \widehat {HMA} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {HMO} = 90^\circ \Rightarrow HM \bot OM$ tại $M \in \left( O \right)$

$ \Rightarrow HM$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$.