Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối A với C

6/8

Cho đường tròn $\left( O \right)$, đường kính $AB$ cố định, một điểm $I$ nằm giữa $A$ và $O$. Kẻ dây $MN$ vuông góc với $AB$ tại $I$. Gọi $C$ là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn $MN$ sao cho $C$ không trùng với $M,N$ và $B$. Nối $A$ với $C$ cắt $MN$ tại $E$. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác $IECB$ nội tiếp được trong đường tròn.

b) $\Delta AME$ đồng dạng với $\Delta ACM$ và $A{M^2} = AE.AC$

c) $AM$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta CME$. Hãy xác định vị trí của điểm $C$ sao cho khoảng cách từ $N$ đến tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta CME$ là nhỏ nhất.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Diện tích trồng cỏ là: \(8000\pi .\fra (ảnh 1)$

a) Ta có $\widehat {ACB}$ chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ACB} = 90^\circ $

$\Delta EIB$ vuông tại $I$, cạnh huyền $EB$ nên ba điểm $E,I,B$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $EB$

$\Delta ECB$ vuông tại $C$, cạnh huyền $EB$ nên ba điểm $E,C,B$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $EB$

Do đó bốn điểm $I,E,C,B$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $EB$

Vậy tứ giác $IECB$ nội tiếp được trong đường tròn.

b) Ta có $\widehat {AME} = 90^\circ - \widehat {MAB} = \widehat {ABM} = \widehat {ACM}$ (Góc nội tiếp cùng chắn cung $AM$)

Xét $\Delta AME$ và $\Delta ACM$ có :

$\widehat {AME} = \widehat {ACM}$

$\widehat {CAM}$ chung

Suy ra $\Delta AME$$\Delta ACM$ (g.g)

Suy ra $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AM}}$ Suy ra $A{M^2} = AE.AC$

c) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta CME$

Vì $\widehat {AME} = \widehat {ACM}$ (cùng chắn hai cung bằng nhau) suy ra $AM$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta CME$ tại $M$

Mà $\widehat {AMB} = 90^\circ $ nên $BM \bot AM$ nên $J$ luôn thuộc đường thẳng$MB$

Do đó $NJ$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $J$ trung hình chiếu $H$ của $N$ trên cạnh $MB$, hay khi $C$ trùng với giao điểm của đường tròn $\left( {H;HM} \right)$ với $\left( O \right)$ thì khoảng cách từ $N$ đến tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta CME$ là nhỏ nhất.