Cho đường tròn ( O ) đường kính AB = 2R
8/9
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB = 2R\). Đường thẳng \(d\) vuông góc với bán kính \[OB\] tại \(H.\) Trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm \(M\)thay đổi (\(M \ne A,\,M \ne \,B,\,M\) không nằm trên \(d\). Tia \(AM\) cắt đường thẳng \(d\) tại \(C\). Tia \(BM\) cắt đường thẳng \(d\) tại \(D\). Tiếp tuyến tại \(M\) của đường tròn cắt đường thẳng \(d\) ở \(K\).
a) Chứng minh bốn điểm \[A,M,D,H\]cùng thuộc một đường tròn.
b) Đường thẳng \(AD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\). Chứng minh \(B,\,E,\,C\) thẳng hàng.
c) Chứng minh \(KM = KE\).
d) Chứng minh \(ME\) luôn đi qua một điểm cố định khi \(M\)thay đổi trên đường tròn \(\left( O \right)\).
a) Có \(M\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) nên \(\Delta AMB\) vuông tại \(M\).
Vì \(D \in MB \Rightarrow \Delta AMD\)vuông tại \(M \Rightarrow \Delta AMD\)nội tiếp đường tròn đường kính\(AD\).
\( \Rightarrow A,M,D\)tuộc đường tròn đường kính\(AD(1)\)
\(d \bot AB\) tại \(H\) nên \(\Delta AHD\) vuông tại \(H\)\( \Rightarrow \Delta AHD\)nội tiếp đường tròn đường kính\(AD\)\( \Rightarrow A,M,D\)tuộc đường tròn đường kính\(AD(2)\)
Từ \((1);(2)\) bốn điểm \[A,M,D,H\]cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AD\)(đpcm).
b) Xét \(\Delta ABC\) có hai đường cao \(CH,\,BM\) cắt nhau tại \(D\) nên \(D\) là trực tâm
Suy ra \(AD \bot BC\,\,(3)\)
Có \(E\) thuộc đường tròn đường kính \(AB\)\( \Rightarrow \widehat {AEB} = 90^\circ \Rightarrow AE \bot BE.\, Hay\,AD \bot BE\,\,(4)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(B,\,E,\,C\) thẳng hàng.
c) Xét \(\left( O \right)\)có \(MK\)là tiếp tuyến tại M nên \(\widehat {OMK} = {90^0} \Rightarrow \widehat {KMD} + \widehat {BMO} = {90^0}(5)\)
\(\Delta OMB\)cân tại \(O \Rightarrow \widehat {OMB} = \widehat {OBM}\),\(\widehat {KDM} = \widehat {BDH}\)(đđ),\(\widehat {HDB} + \widehat {MBO} = {90^0}(6)\)
Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat {KMD} = \widehat {KDM} \Rightarrow \Delta KMD\)cân tại \(K \Rightarrow KM = KD\) (t/c) (7)
Có \(\widehat {DMK} + \widehat {KMC} = {90^0},\widehat {MDK} + \widehat {KCM} = {90^0},\widehat {KMD} = \widehat {KDM} \Rightarrow \widehat {KMC} = \widehat {KCM}\)
\( \Rightarrow \Delta KMC\)cân tại \(K \Rightarrow KM = KC\)(t/c) (8)
Từ (7) và (8) suy ra \(KD = KC\)
Có \(E\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) nên \(\Delta AEB\) vuông tại \(E\).
Hay \(\Delta CED\) vuông tại \(E\)mà \(EK\)là trung tuyến nên \(EK = KD = KC = \frac{{CD}}{2}(t/c)(9)\)
Từ (8) và (9) suy ra \(KM = KE\)(đpcm)
d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BM\) và \(KO\), \(F\) là giao điểm của \(AB\) và \(ME\).
Có \(KM = KE,OM = OE \Rightarrow KO\) là đường trung trực của \(ME \Rightarrow KO \bot ME\) tại \(I\)
Xét \(\Delta OEK\) có \(\widehat {OEK} = 90^\circ ,\,EI \bot OK \Rightarrow OI.OK = O{E^2} = {R^2}\)
Xét \(\Delta FIO\) và \(\Delta KHO\) có: O10-2024-GV163.\(\widehat {OIF} = \widehat {OHK} = 90^\circ ,\widehat O\) chung
\[ \Rightarrow \frac{{FO}}{{KO}} = \frac{{OI}}{{OH}} \Rightarrow FO = \frac{{KO.OI}}{{OH}} = \frac{{{R^2}}}{{OH}}\] không đổi (Vì \(O,\,H\) cố định)
Suy ra điểm \(F\) nằm trên tia \(AB\) cố định và cách điểm \(H\) cố định một khoảng \[FO = \frac{{{R^2}}}{{OH}}\] không đổi nên \(F\) là điểm cố định.
Vậy \(ME\) luôn đi qua một điểm \(F\) cố định khi \(M\)thay đổi trên đường tròn \(\left( O \right)\).