Cho đường tròn (O) đường kính AB = 120 căn bậc hai của 3 cm. Lấy điểm C thuộc (O) sao cho góc BAC = 60°. Khi đó:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng.

DAOC có: OA = OC (= R) nên DAOC cân tại O.

Mà \(\widehat {{\rm{BAC}}} = 60^\circ \) nên DAOC đều.

Suy ra \(\widehat {{\rm{AOC}}} = 60^\circ .\)

Xét (O; OA) có: sđ$\stackrel{⏜}{\text{AC}}$_nhỏ = \(\widehat {{\rm{AOC}}}\) = 60^o (góc ở tâm chắn cung AC nhỏ).

b) Đúng.

Diện tích hình quạt tròn AOC (cung AC nhỏ) là:

\[{{\rm{S}}_1} = \frac{{60}}{{360}} \cdot {\left( {60\sqrt 3 } \right)^2} \cdot {\rm{\pi }} = 1\;800{\rm{\pi }}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\].

Vậy diện tích hình quạt tròn AOC (cung AC nhỏ) bằng 1 800p cm².

c) Sai.

Gọi E là trung điểm của AO.

Vì DAOC đều nên CE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó. Suy ra CE ^ AO tại E nên DACE vuông tại E.

Suy ra CE² + AE² = AC² (định lý Pythragore đảo).

Suy ra CE \( = \sqrt {{\rm{A}}{{\rm{C}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{E}}^2}} = \sqrt {{{\left( {60\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {30\sqrt 3 } \right)}^2}} = 8\;100\) nên CE = 90 cm.

Diện tích tam giác ACO là: \({{\rm{S}}_2} = \frac{1}{2}{\rm{CE}} \cdot {\rm{AO}} = \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot 60\sqrt 3 = 2\;700\sqrt 3 \;\,{\left( {{\rm{cm}}} \right)^2}\).

Vậy diện tích tam giác ACO bằng \(2\;700\sqrt 3 \) cm².

d) Đúng.

Diện tích hình giới hạn bởi dây AC và cung AC nhỏ là:

S = S₁ – S₂ = 1 800p – \(2\;700\sqrt 3 \) cm² < 1 000 cm².

Vậy diện tích hình giới hạn bởi dây AC và cung AC nhỏ nhỏ hơn 1 000 cm².