Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC = R, trên đường tròn lấy điểm D sao cho BD = R. Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt AD tại E. a) Ch

a) Chứng minh tứ giác \(BCED\) nội tiếp

Do \(\widehat {BDA} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(\widehat {BDE} = 90^\circ \).

Lại có: \(\widehat {BCE} = 90^\circ \) (giả thiết).

Do đó, \(\Delta BDE\) và \(\Delta BCE\) là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền \(BE\).

Suy ra bốn điểm \(B,\,\,C,\,\,E,\,\,D\) thuộc đường tròn đường kính \(BE\).

Vậy tứ giác \(BCED\) nội tiếp

b) Chứng minh tam giác \(ABE\) là tam giác cân

Vẽ đường tròn tâm \(B\), bán kính \(R\). Khi đó, \(BD = BC = R\) (giả thiết), \(ED \bot BD\) tại \(D\) và \(EC \bot BC\) tại \(C\).

Do đó, \(ED\) và \(EC\) là hai tiếp tuyến của \(\left( {B;\,\,R} \right)\) cắt nhau tại \(E\).

Suy ra \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat {DBC}\) (1).

Vì \(OB = OD = BD = R\) nên \(\Delta OBD\) đều. Suy ra \(\widehat {OBD} = 60^\circ \) (2).

Khi đó, \(\widehat {DBC} = 120^\circ \) (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: \(\widehat {OBD} = \widehat {DBE} = \frac{{\widehat {DBC}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \).

Do đó, \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABE}\).

\(\Delta ABE\) có \(BD\) vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên là tam giác cân (đpcm).