Cho đường tròn (O) cố định.

8/9

Cho đường tròn (O) cố định. Từ một điểm A cố định ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AM và AN với đường tròn ( M;N là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (B nằm giữa A và C). Gọi I là trung điểm của dây BC.

a) . Chứng minh rằng: AMON là tứ giác nội tiếp.

b). Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh rằng: AK.AI = AB.AC

c). Xác định vị trí của cát tuyến ABC để \(IM = 2IN\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Media VietJack

a) Tứ giác AMON nội tiếp

Vì AM là tiếp tuyến nên AM MO

Do đó vuông tại M nên nội tiếp trong đường tròn đường kính AO

Chứng minh tương tự ta được nội tiếp trong đường tròn đường kính AO

Do đó 4 điểm A, O, M, N cùng nằm trên đường tròn đường kính AO

Vậy tứ giác AMON nội tiếp

b) Chứng minh I thuộc đường tròn đường kính AO

Chứng minh

Từ (1) và (2) suy ra AK.AI = AB.AC

c) Chứng minh

Chứng minh (vì NA=MA)

Do đó \(IM = 2IN \Leftrightarrow \frac{{IN}}{{IM}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{KN.MA}}{{KA}}}}{{\frac{{KM.MA}}{{KA}}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{KN}}{{KM}} = \frac{1}{2}\)

Vậy IM=2.IN khi cát tuyến ABC cắt MN tại K với \(\frac{{KN}}{{KM}} = \frac{1}{2}\)