Cho đường tròn ( O ) có dây cung A B cố định ( A B không phải là đường kính). Kẻ đường kính I K vuông góc với A B tại N sao cho điểm I thuộc cung lớn A B

a) Gọi \(J\) là trung điểm \[ID\].

Vì \(IK \bot AB\) nên \(\widehat {INB} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta IND\) vuông tại \[N.\] Do đó \(JI = JD = JN = \frac{1}{2}ID\)(1)

Xét \((O)\) có đường kính IK, góc nội tiếp \(\widehat {IMK}\)chắn nửa đường tròn nên \[\widehat {IMK} = 90^\circ \] nên \[\Delta IMD\] vuông tại \[M\]. Do đó \(JI = JD = JM = \frac{1}{2}ID\) (2)

Từ (1), (2):\(JN = JI = JD = JM\).

Suy ra bốn điểm I, N, D, M cùng thuộc một đường tròn.

Do đó tứ giác \(INDM\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh được (g.g) suy ra \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{IK}}{{IC}}\).

Do đó \(IM.\,IC = IN.\,\,IK\).

c) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng ID và CK, chứng minh E thuộc đường tròn \((O)\).

Chứng minh được:\(D\) là trực tâm tam giác IKC, từ đó suy ra \[IE \bot KC\]. Do đó điểm E thuộc đường tròn \((O)\).