Cho đường tròn (O) bán kính R và dây BC cố định, điểm A trên cung lớn BC sao cho ΔABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là trung điểm của BC. a) Chứng minh bốn đ

4/7

$Δ A E H ∽ Δ A B M$ Cho đường tròn $\left( O \right)$ bán kính $R$ và dây $BC$ cố định, điểm $A$ trên cung lớn $BC$ sao cho $\Delta ABC$ có ba góc nhọn. Các đường cao $AD,\,\,BE,\,\,CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $K$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh bốn điểm $B,\,\,C,\,\,E,\,\,F$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ đường kính $AM$ của đường tròn $\left( O \right)$. Chứng minh $AB.AC = AD.AM$ và $AH = 2OK$.

c) Chứng minh rằng khi $A$ di động trên cung lớn $BC$ thì đoạn $EF$ có độ dài không đổi.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho đường tròn $\left( O \right)$ bán kính $R$ v (ảnh 1)$

a) Chứng minh bốn điểm $B,\,\,C,\,\,E,\,\,F$ cùng thuộc một đường tròn.

Xét $\Delta BEC$ và $\Delta BFC$ có $\widehat {BEC} = \widehat {BFC} = 90^\circ $ ($BE,CF$ là đường cao) nên nội tiếp trong đường tròn đường kính $BC$.

b) Kẻ đường kính $AM$ của đường tròn $\left( O \right)$. Chứng minh $AB.AC = AD.AM$ và $AH = 2OK$.

* Chứng minh $AB.AC = AD.AM$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AMC$ có:

$\widehat {ADB} = \widehat {ACM}$($AD \bot BC,\widehat {ACM}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\hat{A B D} = \hat{A M C} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{A C}$

Do đó $Δ A B D ∽ Δ A M C$ (g.g)

Suy ra \[\frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{AD}}{{AC}}\] do đó \[AB \cdot AC = AD \cdot AM\].

* Chứng minh $AH = 2OK$

Xét $\Delta OBC$ có $OB = OC = R$ nên cân tại $O$ $ \Rightarrow OK \bot BC$ (tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân)

$ \Rightarrow OK//AH$ (cùng vuông góc với $BC$)

Xét $\Delta AHM:OK//AH,OA = OM \Rightarrow OK$ là đường trung bình của $\Delta AHM$

$ \Rightarrow AH = 2OK$

c) Chứng minh rằng khi $A$ di động trên cung lớn $BC$ thì đoạn $EF$ có độ dài không đổi.

Vì $BCEF$ nội tiếp đường tròn nên $\widehat B + \widehat {FEC} = 180^\circ $

Mặt khác $\widehat {AEF} + \widehat {FEC} = 180^\circ $ (kề bù) nên $\widehat B = \widehat {AEF}$

Ta có $Δ A B C ∽ Δ A E F$ (g.g) $\left( {\widehat {EAF}\,\,{\rm{chung}},\,\,\widehat B = \widehat {AEF}} \right)$

$\Rightarrow \frac{E F}{B C} = \frac{A E}{A B} (1)$

Xét \[\Delta AEH\] và \[\Delta ABM\] có:

\[\widehat {AEH} = \widehat {ABM} = 90^\circ \]

$\begin{array}{l} \hat{H A E} + \hat{D C A} = 90 ° (A D ⊥ B C) \\ \hat{D C A} = \hat{B M A} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{A B} \\ \hat{B M A} + \hat{B A M} = 90 ° \end{array}\} \Rightarrow \hat{H A E} = \hat{B A M}$

Suy ra $Δ A E H ∽ Δ A B M$ (g.g) nên $\frac{A E}{A B} = \frac{A H}{A M} (2)$

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{AH}}{{AM}}$

Khi $BC$ cố định trong $\left( O \right)$ thì $K$cố định $ \Rightarrow 2OK = AH,AM = 2R$ cố định.

$ \Rightarrow EF = \frac{{AH}}{{AM}}.BC$ có độ dài không đổi.