Cho đường tròn (O) bán kính 1. Ba điểm phân biệt A, B, C thay đổi nằm trên đường

Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm  của OA, OB, OC với các đường thẳng BC, CA, AB

Dễ thấy hai tam giác OCD, OMC đồng dạng \( \Rightarrow OD.OM = O{C^2} = 1 \Rightarrow OM = \frac{1}{{OD}}\)

Tương tự: \(ON = \frac{1}{{OE}};OP = \frac{1}{{OF}}\)

Đặt: \(x = {S_{{\rm{OBC }}}};y = {S_{OCA:}};z = {S_{OAB}} \Rightarrow \frac{1}{{OD}} = \frac{{OA}}{{OD}} = \frac{{y + z}}{x}\)

Tương tự: \(\frac{1}{{OE}} = \frac{{x + z}}{y};\frac{1}{{OF}} = \frac{{y + z}}{x}\)

Khi đó: \(\frac{1}{{OD}} + \frac{1}{{OE}} + \frac{1}{{OF}} = \left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right) + \left( {\frac{x}{z} + \frac{z}{x}} \right) + \left( {\frac{y}{z} + \frac{z}{y}} \right) \ge 6.\)

Do đó: \(S = \frac{1}{{O{D^2}}} + \frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{O{F^2}}} \ge \frac{1}{3}{\left( {\frac{1}{{OD}} + \frac{1}{{OE}} + \frac{1}{{OF}}} \right)^2} \ge 12.\)

Vậy GTNN của biểu thức S là 12 đạt được khi tam giác ABC đều.