Cho đường tròn (O; 5 cm). Điểm M nằm ngoài (O) sao cho hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là hai tiếp điểm) vuông góc với nhau tại M. a) Tính độ dài của MA và MB.

4/12

Cho đường tròn $\left( {O;5{\rm{\;}}cm} \right)$. Điểm $M$ nằm ngoài $\left( O \right)$ sao cho hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ ($A$, $B$ là hai tiếp điểm) vuông góc với nhau tại $M$.

a) Tính độ dài của $MA$ và $MB$.

b) Qua giao điểm $I$ của đoạn thẳng $MO$ và đường tròn $\left( O \right)$, vẽ một tiếp tuyến cắt $MA$, $MB$ lần lượt tại $C$, $D$. Tính độ dài của $CD$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$a) Dễ thấy tứ giác $MBOA$ là hình chữ nhật (có ba góc vuông) (ảnh 1)$

a) Dễ thấy tứ giác $MBOA$ là hình chữ nhật (có ba góc vuông)

Lại có $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Nên $MBOA$ là hình vuông (hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông)$ \Rightarrow MA = MB = 5{\rm{\;}}cm{\rm{.\;}}$

b) $DB$ và $DI$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $\left( O \right)$ nên $OD$ là tia phân giác của $\widehat {MOB} = {45^ \circ }$ $ \Rightarrow \widehat {DOB} = \widehat {DOI} = \frac{{45^\circ }}{2} = 22,5^\circ $.

Xét tam giác $DBO$ vuông tại $B$, có $\widehat {DOB} = 22,5^\circ $ và cạnh góc vuông $OB = 5{\rm{\;}}cm$.

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\[BD = OB \cdot \tan \widehat {DOB} = 5 \cdot \tan 22,5^\circ \approx 2,1\,\,\left( {cm} \right)\] $ \Rightarrow DI = DB \approx 2,1\,\,\left( {cm} \right)$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có $MD = MC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Tam giác $DMC$ cân có $MI$ là đường cao nên đồng thời là trung tuyếr. Hay $IC = DI \approx 2,1$ (cm) $ \Rightarrow CD = 2.2,1 \approx 4,2\,\,\left( {cm} \right)$