Cho đường tròn (O; 4 cm) và hai điểm A, B thuộc đường tròn sao cho OA vuông góc với OB. Các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O; 4 cm) cắt nhau tại M. Gọi C là điểm thuộc cung nhỏ AB.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Sai.

c) Đúng.

Vì MB, MA là các tiếp tuyến của (O; OA) nên OA ^ AM, OB ^ BM.

Suy ra \(\widehat {{\rm{OAM}}} = \widehat {{\rm{OBM}}} = 90^\circ .\)

Vì OB ^ OA nên \(\widehat {{\rm{AOB}}} = 90^\circ .\)

Tứ giác AOBM có: \(\widehat {{\rm{AOB}}} = \widehat {{\rm{OAM}}} = \widehat {{\rm{OBM}}} = 90^\circ \) nên tứ giác AOBM là hình chữ nhật. Lại có OA = OB.

Vậy tứ giác AOBM là hình vuông.

b) Đúng.

Diện tích hình vuông AOBM là: 4² = 16 (cm²).

Vậy diện tích tứ giác AOBM bằng 16 cm².

c) Sai.

Vì DA, DC là các tiếp tuyến của (O; OA) cắt nhau tại D nên OD là tia phân giác của góc AOC.

Suy ra \(\widehat {{\rm{DOC}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{AOC}}}\).

Vì EB, EC là các tiếp tuyến của (O; OA) cắt nhau tại E nên OE là tia phân giác của góc BOC.

Suy ra \(\widehat {{\rm{EOC}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BOC}}}\).

Ta có: \(\widehat {{\rm{DOE}}} = \widehat {{\rm{DOC}}} + \widehat {{\rm{EOC}}} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {{\rm{BOC}}} + \widehat {{\rm{AOC}}}} \right) = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{AOB}}} = 45^\circ .\)

Vậy \(\widehat {{\rm{DOE}}} < 50^\circ .\)

d) Sai.

Vì tứ giác AOBM là hình vuông nên AM = MB = AO = 4 cm.

Vì DA, DC là các tiếp tuyến của (O; OA) cắt nhau tại D nên AD = DC.

Vì EB, EC là các tiếp tuyến của (O; OA) cắt nhau tại E nên BE = EC.

Chu vi tam giác DEM là:

DM + ME + DE = DM + ME + DC + CE

                           = DM + ME + AD + BE

                           = AM + MB = 8 (cm).

Vậy chu vi tam giác DEM nhỏ hơn 10 cm.