Cho đường tròn $\left( O \right)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn .Từ điểm $M$ kẻ hai tiếp tuyến

4/5

Cho đường tròn $\left( O \right)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn .Từ điểm $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ đến $\left( O \right)$ ( với$A,B$ là hai tiếp điểm ). Gọi $C$ là điểm đối xứng với $B$ qua $O$ , đường thẳng $MC$ cắt đường tròn $\left( O \right)$tại $D$ ( $D$ khác $C$)

1. Chứng minh rằng : $MAOB$ nội tiếp

2. Gọi N là giao của hai đường thẳng $AD$ và $MO$ . chứng minh rằng$M{N^2} = ND.NA$

3. Gọi $H$ là giao điểm của hai đường thẳng $MO$ và $AB$. Chứng minh rằng ${\left( {\frac{{HA}}{{HD}}} \right)^2} - \frac{{AC}}{{HN}} = 1$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho đường tròn $\left( O \right)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn .Từ điểm $M$ kẻ hai tiếp tuyến (ảnh 1)$

1. Vì $MA$ và $MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$

Nên $\widehat {MAO} = {90^0}$ và $\widehat {MBO} = {90^0}$

Xét tứ giác$MAOB$có : $\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$. Hai góc này đối nhau

Suy ra tứ giác $MAOB$ nội tiếp

2. Nhận thấy $MN//AC$ (vì cùng vuông góc với $AH$)

Do đó \[\widehat {DMN} = \widehat {ACM}\] (so le trong)

Mà $\widehat {MAD} = \widehat {ACM}$ (cùng chắn cung $AD$)

Suy ra $\widehat {DMN} = \widehat {MAD}$

Xét $\Delta MND$ và $\Delta ANM$ có:

$\widehat N$ là góc chung

$\widehat {DMN} = \widehat {MAN} = \widehat {MAD}$

Suy ra $\Delta MND$ $ \sim $ $\Delta ANM$(g.g)

$ \Rightarrow \frac{{MN}}{{ND}} = \frac{{NA}}{{MN}}$ $ \Rightarrow M{N^2} = ND.NA$

1. Dễ thấy $M{A^2} = MD.MC$

và $M{A^2} = MH.MO$ (hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông $MAO$)

Do đó $MD.MC = MH.MO$

Suy ra tứ giác $CDHO$ nội tiếp được đường tròn.

$ \Rightarrow \widehat {MCO} = \widehat {MHD}$

$ \Rightarrow \Delta MDH\, \sim \Delta MOC\,\,\left( {g.g} \right)$

$ \Rightarrow \widehat {MHD} = \widehat {MCO}$

Mà $\widehat {MCO} = \widehat {DAH}$ (cùng chắn cung $DB$)

nên \[\widehat {MHD} = \widehat {DAH}\]

Lại có $\widehat {MHD} + \widehat {DHA} = {90^0}$ nên $\widehat {DAH} + \widehat {DHA} = {90^0}$

Suy ra $DH \bot NA$

Suy ra $H{N^2} = ND.NA$

Lại có $M{N^2} = ND.NA$ nên $H{N^2} = M{N^2} = > HN = MN$

Ta có $\frac{{H{A^2}}}{{H{D^2}}} = \frac{{AD.AN}}{{AD.DN}} = \frac{{AN}}{{DN}}$ và $\frac{{AC}}{{HN}} = \frac{{AC}}{{HM}} = \frac{{AD}}{{DN}}$

Suy ra ${\left( {\frac{{HA}}{{HD}}} \right)^2} - \frac{{AC}}{{HN}} = \frac{{AN}}{{DN}} - \frac{{AD}}{{DN}} = \frac{{DN}}{{DN}} = 1$

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Thanh Hóa có đáp án

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn .Từ điểm \(M\) kẻ hai tiếp tuyến