Cho đường tròn $\left( O \right)$. Từ điểm $M$ bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến

4/5

Cho đường tròn $\left( O \right)$. Từ điểm $M$ bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến $MA,\,MB$ với đường tròn $\left( O \right)$ ($A,\,B$ là các tiếp điểm). Lấy điểm $C$ trên cung nhỏ $AB$ ($C$không nằm chính giữa cung $AB$, $C$ khác $A$ và $B$). Gọi $D,\,E,\,F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $C$ trên các đường thẳng $AB,\,AM,\,BM$.

1. Chứng minh tứ giác $AECD$ nội tiếp đường tròn.

2. Chứng minh rằng $\widehat {CDE} = \widehat {CFD}.$

3. Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $ED$, $K$ là giao điểm của $CB$ và $DF$. Chứng minh $CD \bot IK.$

4. Đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $CIE$ và $CKF$ cắt nhau tại điểm thứ hai $N$ ($N$ khác $C$). Chứng minh đường thẳng $NC$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

1.$DC \bot AD \Rightarrow \widehat {ADC} = 90^\circ $ .

$AE \bot EC \Rightarrow \widehat {AEC} = 90^\circ $.

$\widehat {ADC} + \widehat {AEC} = 180^\circ $.

$ \Rightarrow $ Tứ giác $AECD$ nội tiếp đường tròn..

2.Tứ giác $AECD$ nội tiếp $ \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CAE}.$.

$\widehat {CDB} + \widehat {CFB} = 180^\circ \Rightarrow $Tứ giác $CDBF$ nội tiếp $ \Rightarrow \widehat {CFD} = \widehat {CBD}.$.

Mà $\widehat {CBD} = \widehat {CAE}$ ( Cùng chắn cung $AC$ ).

$ \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CFD}.$.

$Cho đường tròn $\left( O \right)$. Từ điểm $M$ bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến (ảnh 1)$

3.Tứ giác $CDBF$ nội tiếp $ \Rightarrow \widehat {CFD} = \widehat {CBD}.$

$\widehat {CDE} = \widehat {CFD}$(Chứng minh trên)

$ \Rightarrow $ $\widehat {CDE} = \widehat {CBD}$ hay $\widehat {CDI} = \widehat {CBA}\,\left( 1 \right)$

Tứ giác $CDBF$ nội tiếp $\widehat {CDF} = \widehat {CBF}$

Mà $\widehat {CBF} = \widehat {CAB}$ (Cùng chắn cung $BC$)

$ \Rightarrow \widehat {CDK} = \widehat {CAB}\,\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right),\,\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {ICK} + \widehat {IDK} = \widehat {ICK} + \widehat {IDC} + \widehat {CDK}$=$\widehat {ACB} + \widehat {CBA} + \widehat {CAB} = {180^0}$

$ \Rightarrow $ Tứ giác $CIDK$ nội tiếp.

Suy ra $\widehat {CIK} = \widehat {CDK}$

Mà $\widehat {CDK} = \widehat {CAB}\,$(Chứng minh trên)

$ \Rightarrow \widehat {CIK} = \widehat {CAB}$.

$ \Rightarrow IK$ //$AB$

Mà $CD \bot AB \Rightarrow CD \bot IK.$.

$Cho đường tròn $\left( O \right)$. Từ điểm $M$ bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến (ảnh 2)$

4.Gọi $NC$ cắt $IK,\,AB$ lần lượt tại $P,\,Q$

$\widehat {CIK} = \widehat {CAB}$ (Chứng minh trên).

Tứ giác $AECD$ nội tiếp đường tròn $ \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {CED}$ hay $\widehat {CAB} = \widehat {CEI}$

$ \Rightarrow \widehat {CEI} = \widehat {CIK}$

$ \Rightarrow IK$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CIE$

Chứng minh tương tự: $IK$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CKF$ .

Xét hai tam giác $PIC,\,PNI$ có

$\widehat {IPN}$ chung, $\widehat {PIC} = \widehat {PNI}$ (cùng chắn cung $IC$)

$ \Rightarrow \frac{{PI}}{{PN}} = \frac{{PC}}{{PI}} \Rightarrow P{I^2} = PC.PN$

Chứng minh tương tự: $P{K^2} = PC.PN$

Vậy $PI = PK$.

$IK$ // $AB$$ \Rightarrow \frac{{IP}}{{AQ}} = \frac{{CP}}{{CQ}} = \frac{{PK}}{{QB}}$

Mà $PI = PK \Rightarrow AQ = QB$

Hay $Q$ là trung điểm của $AB$.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Hà Nam có đáp án

Cho đường tròn \(\left( O \right)\). Từ điểm \(M\) bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến