Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với

a) Áp dụng hệ thức lượng cho hai tam giác \[BAM\] và \[BAN\] với hai đường cao tương ứng là \[AC,AD\] ta có \[B{A^2} = BC.BM = BD.BN\]. Vì vậy tứ giác \[CDNM\] nội tiếp.

b) Ta có biến đổi góc \[\widehat {MKB} = \widehat {MNB} = \widehat {DCB}\], vì vậy tứ giác \[CIKM\] nội tiếp.

   Do đó \[BC.BM = BI.BK = B{A^2}\], từ đây suy ra \[K\] là điểm cố định.

Từ đây ta suy ra \[AM.AN = AK.AB\] cố định.

c) Gọi \[r\] là bán kính của \[\left( T \right)\] thì \[{r^2} - T{A^2} = AN.AM = a\] không đổi. Ta cũng có \[ID.IC\] không đổi, đặt \[b = ID.IC = {r^2} - T{I^2}\] suy ra \[T{I^2} - T{A^2} = a - b\].

Gọi \[H\] là hình chiếu của \[K\]lên \[AB\] theo định lý Pythagore ta có.

\[\left( {AI + 2AH} \right).AI = H{I^2} - H{A^2}\]\[ = \left( {T{I^2} - T{H^2}} \right) - \left( {T{A^2} - T{H^2}} \right)\]\[ = T{I^2} - T{A^2} = a - b\]

Từ đây kết hợp với \[AI\] không đổi (\[A\] và \[I\] cố định) suy ra \[H\] cố định do đó \[BH\]không đổi.

Khi đó, theo định lý Pytagore ta có.

\[B{T^2} = T{H^2} + B{H^2} \ge B{H^2}.\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[T\] trùng với \[H\] tức là \[BA\]là trung trực của \[CD\] suy ra \[CD\] vuông góc \[AB\] tại \[I\]. Vậy khi \[CD\] vuông góc với \[AB\] tại \[I\] thì độ dài đoạn thẳng \[BT\] nhỏ nhất.