Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu có đáp án
Xem toàn bộ quiz

Cho đường tròn \(\left( {O\,;\,R} \right)\)và điểm A sao cho

4/5

Cho đường tròn \(\left( {O\,;\,R} \right)\)và điểm A sao cho \(OA\, > \,2R\). Từ A vẽ hai tiếp tuyến \(AB\,,\,\,\,AC\)của (O) (B, C là hai tiếp điểm). Vẽ dây cung CD của (O) song song với AB. Đường thẳng AD cắt (O) tại E khác A và cắt BC tại G. Qua G vẽ đường thẳng vuông góc với OG lần lượt cắt hai đường thẳng AB, AC tại M và N.

            a) Chứng minh tam giác \(OMN\) cân

            b) Gọi I là trung điểm của DE, OA cắt BC tại K. Chứng minh: \(I{E^2} = IA \cdot IG\)

            c) Tia BE cắt AC ở H . Chứng minh CE đi qua trung điểm của HG.

0/3000 ký tự
Giải thích

Cho đường tròn \(\left( {O\,;\,R} \right)\)và điểm A sao cho (ảnh 1)

a) Tứ giác OGMB nội tiếp đường tròn đường kính MO \( \Rightarrow \widehat {OMG} = \widehat {OBG}.\)

    Tứ giác OGCN nội tiếp đường tròn đường kính NO \( \Rightarrow \widehat {ONG} = \widehat {OCG}\)

    Tuy nhiên tam giác OBC cân tại O \( \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB} \Rightarrow \widehat {OMG} = \widehat {ONG} \Rightarrow \Delta OMN\)cân tại O.

b) ta có: ∠AKG=∠AIO=90°⇒ΔAKG,ΔAIO đồng dạng \( \Rightarrow AG.AI = AK.AO.\)

Mặt khác,  dễ thấy: \(AK\,.\,AO = A{B^2}\) và \(A{B^2} = AE \cdot AD \Rightarrow AG \cdot AI = AE \cdot AD\)

Khi đó: \(AG \cdot AI = (AI - IE)(AI + IE) = A{I^2} - I{E^2} \Rightarrow I{E^2} = A{I^2} - AG \cdot AI = IG \cdot IA\)

c) Gọi T là giao điểm của HG và CE . Ta có: \(\widehat {BED} = \widehat {BCD} = \widehat {CBA} = \widehat {ACB} \Rightarrow HEGC\) là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {HGC} = \widehat {HEC} = \widehat {CDB} = \widehat {CBA}.\)Đến đây ta chứng minh hai đường thẳng HG, AB song song với nhau .

Kéo dài CE cắt AB tại F.

Dễ thấy: \(\angle FAE = \angle EDC = \angle ECA \Rightarrow \Delta FAE,\Delta FCA\) đồng dạng \( \Rightarrow F{A^2} = FE\,.\,FC\), mà \(F{B^2} = FE\,.\,FC \Rightarrow F\)là trung điểm của AB. Đến đây sử dụng định lý Ta-lét , thì : \(\frac{{TG}}{{FB}} = \frac{{CT}}{{CF}} = \frac{{TH}}{{FA}} \Rightarrow TG = TH\) hay T là trung điểm của GH.