Cho đường tròn (C1) có tâm I1, bán kính R = 86 cm và một điểm A nằm trên đường tròn (C1). Đường tròn (C2) có tâm I2 và đường kính I1 A, đường tròn (C3) có tâm I3

78/100

Cho đường tròn \(({C_1})\) có tâm \({I_1}\), bán kính \(R = 86{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\) và một điểm \(A\) nằm trên đường tròn \(({C_1})\). Đường tròn \(({C_2})\) có tâm \({I_2}\) và đường kính \({I_1}A,\) đường tròn \(({C_3})\) có tâm \({I_3}\) và đường kính \({I_2}A,\) đường tròn \(({C_n})\) có tâm \({I_n}\) và đường kính \({I_{n - 1}}A\).

Gọi \({S_1},{S_2},{S_3}, \ldots ,{S_n}, \ldots \) lần lượt là diện tích của các hình tròn \(({C_1}),({C_2}),({C_3}), \ldots ,({C_n}), \ldots \) và \[S = {S_1} + {S_2} + \cdots + {S_6}.\]

Khi đó, giá trị \(S\) xấp xỉ bằng:

\(45744\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^2})\).

\(45018\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^2})\).

\(30973\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^2})\).

\(30950\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^2})\).

Giải thích

Giải chi tiết:

Đường tròn \(({C_1})\) có bán kính

\[{R_1} = {I_1}A = R \Rightarrow {S_1} = \pi {R^2}.\]

Đường tròn \(({C_2})\) có bán kính

\[{R_2} = {I_2}A = \frac{{{I_1}A}}{2} = \frac{R}{2},\]

nên

\[{S_2} = \pi R_2^2 = \pi {\left( {\frac{R}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi {R^2}}}{4} = \frac{{{S_1}}}{4}.\]

Đường tròn \(({C_3})\) có bán kính

\[{R_3} = {I_3}A = \frac{{{I_2}A}}{2} = \frac{R}{4},\]

nên

\[{S_3} = \pi R_3^2 = \pi {\left( {\frac{R}{4}} \right)^2} = \frac{{\pi {R^2}}}{{16}} = \frac{{{S_2}}}{4}.\]

Tổng quát, đường tròn \(({C_n})\) có bán kính

\[{R_n} = {I_n}A = \frac{R}{{{2^{{\kern 1pt} n - 1}}}},\]

nên

\[{S_n} = \pi R_n^2 = \pi {\left( {\frac{R}{{{2^{{\kern 1pt} n - 1}}}}} \right)^2} = \frac{{\pi {R^2}}}{{{2^{2(n - 1)}}}} = \frac{{{S_{n - 1}}}}{4}.\]

Vậy dãy \(({S_n})\) là một cấp số nhân với:

\[{u_1} = {S_1} = \pi {R^2} = \pi \cdot {86^2} \approx 23235\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}),\]\[q = \frac{1}{4}.\]

Do đó:

\[S = {S_1} + {S_2} + \cdots + {S_6} = \frac{{{u_1}({q^6} - 1)}}{{q - 1}} = \frac{{23235\left( {{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^6} - 1} \right)}}{{\frac{1}{4} - 1}} \approx 30973\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}).\]

Đáp án cần chọn: C.