Cho đường tròn \((C):{(x - 2)^2} + {y^2} = 4/5 và các đường thẳng

18/22

Cho đường tròn \((C):{(x - 2)^2} + {y^2} = \frac{4}{5}\) và các đường thẳng \({d_1}:x - y = 0\), \({d_2}:x - 7y = 0\). Viết phương trình đường tròn \(\left( {{C^\prime }} \right)\) có tâm \(I\) nằm trên đường tròn \((C)\) và tiếp xúc với \({d_1},{d_2}\)

Giải thích

Gọi \(I(a;b)\) là tâm đường tròn \(\left( {{C^\prime }} \right)\). Ta có: \(I \in (C) \Leftrightarrow {(a - 2)^2} + {b^2} = \frac{4}{5}\).

Đường tròn \(\left( {{C^\prime }} \right)\) tiếp xúc với hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\)

\( \Leftrightarrow d\left( {I,{d_1}} \right) = d\left( {I,{d_2}} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{|a - b|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{|a - 7b|}}{{\sqrt {50} }} \Leftrightarrow 5|a - b| = |a - 7b|\)

\( \Leftrightarrow a = \frac{{ - 1}}{2}b\) hoặc \(a = 2b\).

- \(a = \frac{{ - 1}}{2}b \Rightarrow {\left( {\frac{{ - 1}}{2}b - 2} \right)^2} + {b^2} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow \frac{5}{4}{b^2} + 2b + \frac{{16}}{5} = 0\) (vô nghiệm).

- \(a = 2b \Rightarrow {(2b - 2)^2} + {b^2} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow 5{b^2} - 8b + \frac{{16}}{5} = 0 \Leftrightarrow b = \frac{4}{5}\).

Suy ra \(a = \frac{8}{5},R = \frac{{2\sqrt 2 }}{5}\).

Vậy đường tròn (C') có phương trình là: \({\left( {x - \frac{8}{5}} \right)^2} + {\left( {x - \frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{8}{{25}}\).