Cho đường tròn (0; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AE đến đường tròn (O)

a) Theo giả thiết, EH⊥OA tại M nên M là trung điểm của EH (quan hệ đường kính và dây cung).

⇒EH=2EM.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác QEM có:

OM2+EM2=OE2⇒EM=OE2−OM2=52−32=4 cm

⇒EH=2EM=8 cm.

Vậy độ dài dây EH là 8 cm.

b) ΔAEH cân tại A vì có AM vừa là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến.

⇒AE=AH.

Xét ΔOEA và ΔOHA có: OE = OH (bán kính đường tròn (O));

                                            AE = AH (chứng minh trên);

                                            OA chung.

⇒ΔOEA=ΔOHAc.c.c⇒OHA^=OEA^=90° (hai góc tương ứng).

Hay AH⊥OH. Vậy AH là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Ta thấy B là giao của hai tiếp tuyến BH và BF nên BOF^=BOH^.

Lại có EOA^=HOA^ nên EOA^+AOB^+BOF^=2AOH^+BOH^=180°.

Tức là ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: FB = BH, EA =HA.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB ta có: BH.HA=OH2.

Vậy BF.AE=R2.                                      (1)

d) Ta có BF//AQ (vì cùng vuông góc với EF).

            BFAQ=IFIQ=CFQD⇒BFCF=AQDQ     (*).

Dễ dàng chứng minh được ΔCOD vuông tại O.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COD, với OK là đường cao, ta có: OK2=DK.CK.

Mà DE, DK là các tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại D nên DE = DK.

Tương tự, CK = CF.

⇒OK2=CF.DE⇔CF.DE=R2            (2)

Từ (1) và (2) suy ra: CF.DE=AE.BF⇔BFCF=DEAE     (**)

Từ (*) và (**) suy ra: AQDQ=DEAE⇔AQ−DQDQ=DE−AEAE⇔ADDQ=ADAE⇔AE=DQ.