Cho đường thẳng Δ : (x − 1)/ 2 = y/ 1 =( z + 2 )− 1 và hai điểm A ( 0 ; − 1 ; 3 ) , B ( 1 ; − 2 ; 1 ) . Tọa độ điểm M thuộc đường thẳng Δ sao cho MA^2 + 2 MB^2 đạt giá trị nhỏ nhất

36/49

Cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\) và hai điểm \(A\left( {0\;;\; - 1\;;\;3} \right)\), \(B\left( {1\;;\; - 2\;;\;1} \right)\). Tọa độ điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) sao cho \(M{A^2} + 2M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\left( { - a;\, - b; - c} \right)\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức \(a + b + c\) bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta có: \(M \in \Delta \Rightarrow M\left( {2t + 1\;;\;\;t\;;\;\; - 2 - t} \right)\), khi đó:

\(M{A^2} + 2M{B^2} = {\left( {2t + 1} \right)^2} + {\left( {t + 1} \right)^2} + {\left( {t + 5} \right)^2} + 2\left[ {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( {t + 2} \right)}^2} + {{\left( {t + 3} \right)}^2}} \right]\)

\( = 18{t^2} + 36t + 53 = 18{\left( {t + 1} \right)^2} + 35 \ge 35\).

Dấu bằng xảy ra khi \(t = - 1 \Rightarrow M\left( { - 1\;;\; - 1\;;\; - 1} \right)\). Do đó, \(a = b = c = 1\). Vậy \(a + b + c = 3\).

Đáp án cần nhập là:\[3\].