Cho đường thẳng dm: y=mx-2m+1 và parabol (P): y=x^2-3x+2 (m là tham số thực).

163/180

Cho đường thẳng dm:y=mx−2m+1 và parabol (P): y=x2−3x+2(m là tham số thực). Biết d=ab (với a,b∈ℤ và phân số ab tối giản) là khoảng cách lớn nhất từ đỉnh I của parabol (P) đến đường thẳng dm. Tính P=a2+b2.

P=1097

P=45

P=857

P=285

Giải thích

Đỉnh của (P) là I32;−14.

Gọi M(a;b) là điểm cố định của họ đường thẳng dm

Suy ra (a−2)m+1−b=0 đúng với mọi m

⇔a−2=01−b=0⇔a=2b=1⇒M2;1.

Gọi H là hình chiếu của I lên dm, khi đó IH là khoảng cách từ I đến đường thẳng dm.

Có dI;dm=IH≤IM nên dI;dm đạt giá trị lớn nhất bằng IM khi và chỉ khi H≡M2;1

Khi đó d=IM=294 ⇒a=29, b=4.

Vậy P=a2+b2=857.