Cho đường thẳng Delta

92/235

Cho đường thẳng $Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1}$ và hai điểm $A (0; - 1; 3)$ , $B (1; - 2; 1)$ . Tọa độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $∆$ sao cho $M A^{2} + 2 M B^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $(- a; - b; - c)$ với $a, b, c$ là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức $a + b + c$ bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta có: $M \in \Delta \Rightarrow M\left( {2t + 1\;;\;\;t\;;\;\; - 2 - t} \right)$, khi đó:

$M{A^2} + 2M{B^2} = {\left( {2t + 1} \right)^2} + {\left( {t + 1} \right)^2} + {\left( {t + 5} \right)^2} + 2\left[ {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( {t + 2} \right)}^2} + {{\left( {t + 3} \right)}^2}} \right]$

$ = 18{t^2} + 36t + 53 = 18{\left( {t + 1} \right)^2} + 35 \ge 35$.

Dấu bằng xảy ra khi $t = - 1 \Rightarrow M\left( { - 1\;;\; - 1\;;\; - 1} \right)$. Do đó, $a = b = c = 1$. Vậy $a + b + c = 3$.

Đáp án cần nhập là:\[3\].