Cho đường thẳng (d): y = mx + 2n và parabol (P): y = x^2. Khi đó:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.                b) Đúng.                c) Đúng.                d) Sai.

a) Sai.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x² = mx + 2n nên x² – mx – 2n = 0 (1).

Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x² – mx – 2n = 0.

b) Đúng.

Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của (d) và (P).

Phương trình (1) có \(\Delta\) = (–m)² – 4.1.(–2n) = m² + 8n.

Để đường thẳng (d) và parabol (P) có hai điểm chung thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Suy ra \(\Delta\) = m² + 8n > 0.

Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) có hai điểm chung khi m² + 8n > 0.

c) Đúng.

Với n > 0 thì 8n > 0, do đó m² + 8n > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy với n > 0 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt.

d) Sai.

Với \({\rm{m}} = 2\sqrt {2{\rm{n}}} \) ta có: \(\Delta = {\left( {2\sqrt {2{\rm{n}}} } \right)^2} + 8{\rm{n}} = 8{\rm{n}} + 8{\rm{n}} = 16{\rm{n}} > 0\) với n > 0.

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi \({\rm{m}} = 2\sqrt {2{\rm{n}}} \).

Vậy với \({\rm{m}} = 2\sqrt {2{\rm{n}}} \;\,\left( {{\rm{n}} > 0} \right)\) thì đường thẳng (d) và parabol (P) có 2 điểm chung.