Cho đường thẳng d: y = (m^2 − 2m + 2)x + 4. Tìm m để đường thẳng d cắt Ox tại A và cắt Oy tại B sao cho diện tích tam giác AOB lớn nhất.

Hàm số \(d:y = \left( {{m^2} - 2m + 2} \right)x + 4\) có \(a = {m^2} - 2m + 2 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 1 \ge 1 > 0\) với mọi \(m\).

Do đó hàm số \(y = \left( {{m^2} - 2m + 2} \right)x + 4\) là hàm số bậc nhất.

Cho \(x = 0\) thì \(y = 4\), ta được giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) là \(B\left( {0;\,\,4} \right)\). Suy ra \(OB = \left| 4 \right| = 4.\)

Cho \(y = 0\) thì \(x = \frac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}}\), ta được giao điểm của \(d\) với trục \(Ox\) là \(A\left( {\frac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}};\,\,0} \right).\) Suy ra \(OA = \left| {\frac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}}} \right| = \frac{4}{{{m^2} - 2m + 2}}\) (do \({m^2} - 2m + 2 > 0\))

Tam giác \(AOB\) vuông tại \(O,\) nên diện tích tam giác \(AOB\) là:

\({S_{AOB}} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{{{m^2} - 2m + 2}} \cdot 4 = \frac{8}{{{m^2} - 2m + 2}}\)

Để \({S_{AOB}}\) lớn nhất thì \(\frac{8}{{{m^2} - 2m + 2}}\) lớn nhất hay \({m^2} - 2m + 2\) có giá trị dương nhỏ nhất

Mà \({m^2} - 2m + 2 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 1 \ge 1\)  với mọi \(m\).

Dấu bằng xảy ra khi \({\left( {m - 1} \right)^2} = 0\) hay \(m = 1\).

Vậy với \(m = 1\) thì \({S_{AOB}}\) đạt giá trị lớn nhất.

Đáp án: 1.