Cho đường thẳng (d): y = –2mx + 2m + 1 và parabol (P): y = x^2. Khi đó:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.            b) Sai.                    c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

x² = –2mx + 2m + 1, suy ra x² + 2mx – 2m – 1 = 0 (1).

Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x² + 2mx – 2m – 1 = 0.

b) Sai.

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).

Phương trình (1) có: \(\Delta\)’ = m² – 1.(– 2m – 1) = m² + 2m + 1 = (m + 1)².

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Suy ra \(\Delta\)’ = (m + 1)² > 0, suy ra m + 1 \(\neq\) 0 nên m \(\neq\) –1 (*).

Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi m \(\neq\) –1.

c) Đúng.

Phương trình (1) có nghiệm là: \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - {\rm{m}} + \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} + 1} \right)}^2}} }}{1} = 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - {\rm{m}} - \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} + 1} \right)}^2}} }}{1} = - 2{\rm{m}} - 1.\)

Vậy đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại một điểm có hoành độ bằng 1.

d) Đúng.

Để tổng hoành độ các giao điểm của (d) và (P) bằng 6 thì

1 + (–2m – 1) = 6

–2m = 6

m = –3 (thỏa mãn (*)).

Vậy có một giá trị của m để tổng hoành độ các giao điểm của (d) và (P) bằng 6.