Cho đường thẳng (d): y=-2 và Parabol (Pm): y=-x^2 +mx -m^2 +1 với m thuộc [-1, 1/2] .

Phương trình hoành độ giao điểm của d và Pm là:

−x2+mx−m2+1=−2⇔−x2+mx−m2+3=0

d giao Pm  tại hai điểm M,N khi và chỉ khi 1 có hai nghiệm phân biệt ⇔Δ>0

⇔m2−4.−1.−m2+3>0⇔−3m2+12>0⇔−2<m<2

So với điều kiện m∈−1;12 . Vậy (d)  cắt Pm  tại hai điểm phân biệt khi m∈−1;12 .

Gọi Mx1;−2;Nx2;−2  với x1;x2  là nghiệm của phương trình (1) .

Ta có : MN→=x2−x1;0 ⇔MN2=x2−x12=x1+x22−4x1x2

Theo định lí Vi – ét ta có:MN2=m2−4m2−3=−3m2+12 .

Xét hàm số fm=−3m2+12 . Có Đỉnh S0;12 .

Bảng biến thiên:

 

m	-1                               0                                              1/2
f(m)

Dựa vào bảng biến thiên ta có fmmin=9fmmax=12⇔MN2min=9MN2max=12 .

Vậy khi đó S=a2+b2=12+9=21.