Cho đường thẳng d : x = t; y = − 1 ; z = − t và 2 mặt phẳng ( P ) : x + 2y + 2z + 3 = 0 và ( Q ) : x + 2y + 2z + 7 = 0 Mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc đường thẳng ( d ) và tiếp xúc

52/88

Cho đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\\,y = - 1\\\,z = - t\end{array} \right.\] và 2 mặt phẳng\[\left( P \right):x + 2y + 2z + 3 = 0\]và \[(Q):x + 2y + 2z + 7 = 0\]Mặt cầu\(\left( S \right)\) có tâm I thuộc đường thẳng\(\left( d \right)\)và tiếp xúc với hai mặt phẳng \(\left( P \right)\)và \(\left( Q \right)\) có phương trình

\[{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\].

\[{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\].

\[{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\].

\[{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\].

Giải thích

Đáp án đúng là: D

Vì \(I \in d \Rightarrow \)\(I(t, - 1, - t)\)

\(d(I,(P)) = d(I,(Q))\)nên \(\frac{{\left| {t - 2 - 2t + 3} \right|}}{3} = \frac{{\left| {t - 2 - 2t + 7} \right|}}{3}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - t + 1} \right|}}{3} = \frac{{\left| { - t + 5} \right|}}{3}\)\( \Leftrightarrow t = 3\).

Do đó \(I\left( {3; - 1; - 3} \right)\) và \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.3 + 2.\left( { - 1} \right) + 2\left( { - 3} \right) + 3} \right|}}{3} = \frac{2}{3}\).

Phương trình mặt cầu là:\[{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\].