Cho đường thẳng d: x = - 2 + t; y = - t căn bậc hai của 2 ;z = 4 + t và d’: x = 2 + t; y = 1 + t căn bậc hai của 2 ;z = 3 + at. Tìm giá trị thực của tham số a sao cho góc giữa hai đường thẳ

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −1

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right)\).

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( {1;\sqrt 2 ;a} \right)\).

Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {1 \cdot 1 + \left( { - \sqrt 2 } \right) \cdot \sqrt 2  + 1 \cdot a} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} }} = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a - 1} \right|}}{{\sqrt 4  \cdot \sqrt {3 + {a^2}} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 4{\left( {a - 1} \right)^2} = 4\left( {3 + {a^2}} \right) \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} = 3 + {a^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 1 = 3 + {a^2} \Leftrightarrow  - 2a = 2 \Leftrightarrow a =  - 1\).