Cho đường thẳng d: x/1 = (y-1)/2 = (z + 1)/-1 và điểm A (1;2; -3). Phương trình mặt cầu đi qua A và có tâm là giao điểm của d với mặt phẳng (Oxy) có dạng (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = d

Phương pháp giải 

I là giao điểm của đường thẳng \(d\) với mặt phẳng \((Oxy)\), sau đó tính bán kính \(R = IA\).

Giải chi tiết:

Gọi \(I\) là giao điểm của \(d\) và \((Oxy)\).

Đặt:

         \[\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}} = t \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t,}\\{y = 1 + 2t,}\\{z = - 1 - t.}\end{array}} \right.\]

Vì \(I \in (Oxy)\) nên \(z = 0\), suy ra:

                                                            \[ - 1 - t = 0 \Rightarrow t = - 1.\]

Do đó:

                                                                           \[I( - 1; - 1;0).\]

Bán kính mặt cầu là:

    \[R = IA = \sqrt {{{( - 1 - 1)}^2} + {{( - 1 - 2)}^2} + {{(0 + 3)}^2}} = \sqrt {4 + 9 + 9} = \sqrt {22} .\]

Vậy phương trình mặt cầu là:

                                                     \[{(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 22.\]

Suy ra:

                                                \[a = - 1,\quad b = - 1,\quad c = 0,\quad d = 22.\]

Do đó:

                                                        \[a + b + c + d = - 1 - 1 + 0 + 22 = 20.\]

Vậy \(a + b + c + d = 20\).