Cho đường thẳng d: x = 1 + 2t; y = t; z = 10 - mt và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0. Xác định m để sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là 4/9 ( m là số nguyên dương)?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2;1; - m} \right)\).

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2;2;1} \right)\).

sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + \left( { - m} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - m} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {6 - m} \right|}}{{3\sqrt {\left( {{m^2} + 5} \right)} }} = \frac{4}{9}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {6 - m} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 5} }} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow 9{\left( {6 - m} \right)^2} = 16\left( {{m^2} + 5} \right) \Leftrightarrow 7{m^2} + 108m - 244 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m = \frac{{ - 122}}{7}}\end{array}} \right.\).

Với m nguyên dương nên  m = 2.