Cho đường thẳng d và hai điểm A , B nằm cùng về một phía của d và AB không song song và không vuông góc với d . Một điểm H di động trên d . Tìm vị trí của H sao cho | HA − HB |

a) Ta có \(\left| {HA - HB} \right|\) ≥ 0 với điểm \(H\) tùy ý và \(\left| {HA - HB} \right|\) = 0.

Vị trí điểm \(H\) mà \[HA = HB\], tức là chỉ với các điểm \(H\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

Mặt khác, \(H\) phải thuộc \(d\) nên \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\). Có giao điểm này vì \(AB\) không vuông góc với \(d\).

Tóm lại: Khi \(H\) là giao điểm của \(d\) và đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) thì \[\left| {MA - MB} \right|\] đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 0.

b)

Vì \(AB\) không song song với \(d\) nên \(AB\) cắt \(d\) tại \[N\].

Với điểm \(H\) bất kỳ thuộc \(d\) mà \(H\) không trùng với \[N\]thì ta có tam giác\[HAB\].

Theo hệ quả bất đẳng thức tam giác, ta có:\(\left| {HA - HB} \right| < AB\).

Khi \[H \equiv N\]thì\(\left| {HA - HB} \right| = AB\).

Vậy \[\left| {MA - MB} \right|\] lớn nhất là bằng \(AB\), khi đó \[M \equiv N\]là giao điểm của hai đường thẳng \(d\) và \(AB\).