Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng phía đối với d. Dựng

Hướng suy nghĩ. Bài toán trở nên đơn giản nếu đề bài cho A và B nằm khác phía đối với d. Khi đó C là giao điểm của d với đoạn thẳng AB (h.l0a). Trong trường hợp A B nằm cùng phía đối với d, ta có thể tạo ra điểm B’ nằm khác phía với A đối với d mà độ dài CB’ luôn luôn bằng CB khi C thay đổi vị trí trên đường thẳng d. Điểm B’ chính là điểm đối xứng với B qua d.

Giải:

Phân tích. Vẽ B’ đối xứng với B qua d. Gọi M là điểm bất kì thuộc d. Ta có MB’=MB. Do đó

AM+MB=AM+MB'≥AB'(hằng số).

Vậy giá trị nhỏ nhất của AM+MB bằng AB’ có M thuộc đoạn thẳng AB'.

Cách dựng. Dựng B’ đối xứng với B qua d. Nối A với B’ cắt d ở C.

Chứng minh. Gọi M là điểm bất kì thuộc d. Ta có AM+MB=AM+MB'≥AB', AC+CB=AC+CB'=AB'.

Vậy AC+CB≤AM+MB.

Biện luận. Bài toán có một nghiệm hình.