Cho đường thẳng d: , điểm M(1; 2; 1) và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M, song song với (P) và vuông góc với d.

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( {1;2;0} \right)\]; mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right)\].

Đường thẳng ∆ đi qua M song song với (P) và vuông góc với d nên có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\1&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\{ - 2}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&1\end{array}} \right|} \right)\] = (−4; 2; −3).

Ta có phương trình chính tắc của ∆ là: \[\frac{{x - 1}}{{ - 4}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\].