Cho đường thẳng d có phương trình y= (m-2 ) x + 2m -1

2/5

1. Cho đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = \left( {m - 2} \right)x + 2m - 1\) (với \(m\) là tham số) và điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\left( d \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

2. Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - y - 1} \right).\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) = {x^2} + {y^2} - x + y + 3\\\sqrt {x + 6} + \sqrt {y + 3} = - {x^2} + 2x + 8\end{array} \right.\,\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

1.Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định nằm trên đường thẳng \(d\)

\( \Leftrightarrow {y_0} = \left( {m - 2} \right){x_0} + 2m - 1\) có nghiệm với \(\forall m\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m\left( {{x_0} + 2} \right) - 2{x_0} - {y_0} - 1 = 0\,\left( {\forall m} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} + 2 = 0\\ - 2{x_0} - {y_0} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - 2\\{y_0} = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 2;3} \right)\end{array}\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của A trên \(d \Rightarrow AH \le AM\)

Khoảng cách \(AH\) lớn nhất là \(AM\)khi \(H \equiv M \Leftrightarrow AM \bot d\)

Phương trình đường thẳng \(AM:\,y = - x + 1\)

\(AM \bot d \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right).\left( { - 1} \right) = - 1 \Leftrightarrow m = 3.\)

2.ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 6\\y \ge - 3\end{array} \right.\)

\[\begin{array}{l}\left( {x - y - 1} \right).\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) = {x^2} + {y^2} - x + y + 3\\ \Leftrightarrow \left( {x - y - 2} \right).\left( {{x^2} + {y^2} + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x - y - 2 = 0\,\,\left( {{x^2} + {y^2} + 2 > 0\,\,\forall x,y} \right)\end{array}\]

Thay \(y = x - 2\) vào phương trình \(\left( 2 \right)\)

\[\sqrt {x + 6} + \sqrt {x + 1} = - {x^2} + 2x + 8,\,\,\,\,(x \ge - 1)\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {x + 6} - 3 + \sqrt {x + 1} - 2 + {x^2} - 2x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 6} + 3}} + \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 6} + 3}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 3\,\,\,\,\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\,\frac{1}{{\sqrt {x + 6} + 3}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + x + 1 > 0,\,\forall x \ge - 1} \right)\\x = 3 \Rightarrow y = 1.\end{array}\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;1} \right)\)