Cho đường thẳng \(d:3x + 4y - 1 = 0\). Đường thẳng \(\Delta :3x + by + c = 0

Vì \(\Delta \) song song với \(d\) nên ta có \(\Delta :3x + 4y + c = 0\).

Lại có \(d\left( {A,\Delta } \right) = 1\) nên \(\frac{{\left| {3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 1\)\( \Leftrightarrow \left| {7 + c} \right| = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7 + c = 5\\7 + c = - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = - 2\\c = - 12\end{array} \right.\).

Mà \(c > - 5\) nên \(c = - 2\).

Vậy \(3x + 4y - 2 = 0\).

Suy ra \(b = 4;c = - 2\). Vậy \(b + c = 2\).