Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G,G',I lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC,A'B'C',ABB' (ảnh 1)

a) Gọi \(M,\,\,M'\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,B'C'\). Suy ra mặt phẳng \(\left( {A'BG'} \right)\) là mặt phẳng \(\left( {A'BM'} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {AGC'} \right)\) là mặt phẳng \(\left( {AMC'} \right)\).

Ta có: các tứ giác \(AMM'A',\,\,BMC'M'\) là các hình bình hành.

Suy ra: \(A'M'\) song song \(AM\) và \(BM'\) song song \(MC'.\)

Mà \(A'M',\,\,BM' \subset \left( {A'BG'} \right);\,\,AM,\,\,MC' \subset \left( {AGC'} \right)\)

Suy ra: mặt phẳng \(\left( {A'BG'} \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {AGC'} \right).\)

b) Ta có: \(\frac{{A'I}}{{AB}} = \frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IG'\) song song \(BM'.\)

Suy ra: \(IG'\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right).\)

Ta có: \(G \in AM \Rightarrow G \in \left( {AB'M} \right)\); \(H \in AB' \Rightarrow H \in \left( {AB'M} \right)\)\( \Rightarrow GH \subset \left( {AB'M} \right)\)

Suy ra: \(K = EF \cap \left( {AB'M} \right)\) hay \(K = EF \cap B'M\) và \(H = GK \cap AB'\)

(Như hình vẽ)

Ta có: \(\frac{{MG}}{{GA}}.\frac{{AH}}{{HB'}}.\frac{{B'K}}{{KM}} = 1 \Rightarrow \frac{{AH}}{{AB'}} = 2.\) Vậy \(\frac{{AH}}{{AB'}} = 2.\)

Cho đường thẳng a\ song song với mặt phẳng P