Cho đoạn thẳng AB và n điểm O1, O2, ....,On không nằm giữa A và B sao cho O1A + O2A +... + OnA = O1B + O2B +... +OnB = a. C

Gọi M là trung điểm của AB và O là một điểm tùy ý không nằm giữa A và B.

- Trường hợp O nằm trên tia đối của tia AB hay tia đối của tia BA (h.3.16), ta chứng minh được OM=OA+OB2.  1

- Trường hợp O không thẳng hàng với A và B (h.3.17).

Gọi N là trung điểm của OB, khi đó MN là đường trung bình của ΔOAB, MN=OA2.

Xét ΔOMN, ta có: OM<MN+ON

⇒OM<OA+OB2.  2

Từ (1) và (2) suy ra: OM≤OA+OB2.  *

Áp dụng hệ thức (*) đối với n điểm O1,O2,…,On ta có:

O1M≤O1A+O1B2;O2M≤O2A+O2B2;…;OnM≤OnA+OnB2.

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được:

O1M+O2M+…OnM≤O1A+O1B2+O2A+O2B2+…+OnA+OnB2=O1A+O2A+…+OnA2+O1B+O2B+…+OnB2=a2+a2=a

Như vậy điểm cần tìm chính là trung điểm M của AB.