Cho đoạn thẳng \(AB\) và \(C\)là điểm nằm trên đoạn \(AB\) sao cho \(BC > AC\).

a) Ta có: \(\widehat {BME} = \widehat {BKE} = {90^ \circ }\) nên tứ giác \(BMKE\) nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {HKB} = \widehat {CEB}\)

mà \(\widehat {HKB} = \widehat {BAE}\) (cùng phụ với \(\widehat {HKA}\))

\( \Rightarrow \widehat {BAE} = \widehat {CEB}\).

\(\Delta BEC\) đồng dạng với \(\Delta BAE\) (vì \(\widehat {ABE}\) chung và \(\widehat {BAE} = \widehat {CEB}\))

Do đó \(\frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{BC}}{{BE}} \Rightarrow B{E^2} = BC \cdot AB\).

b) Xét tam giác vuông \(ABN\)có \(CN \bot AB \Rightarrow B{N^2} = BC \cdot AB\)

mà \(B{E^2} = BC \cdot AB\) suy ra \(BN = BE\) hay \(\Delta BNE\) cân tại \(B\), suy ra \(\widehat {BNE} = \widehat {BEN}\).   \(\left( 1 \right)\)

Mặt khác, theo câu trên ta có \(\widehat {CEB} = \widehat {BAE}\) và \(\widehat {BAE} = \widehat {BNP}\) suy ra \(\widehat {CEB} = \widehat {BNP}\).                (2)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {PNE} = \widehat {PEN}\) hay \(\Delta PNE\) cân tại \(P\) \( \Rightarrow NP = PE\).

Vì \(NP = PE\) và \(BN = BE\) nên \(BP \bot NE\).

Suy ra \(BP\) là đường phân giác của các góc \(\widehat {EBN}\) và \(\widehat {EPN}\).

Do đó tâm đường tròn nội tiếp các tam giác \(BNE\) và \(PNE\) cùng nằm trên đường thẳng \(BP\).