Cho đồ thị hàm số \(y = {{\rm{e}}^x}\) và hình được tô màu như hình bên. a) Hình phẳng được tô màu giới hạn bởi \[3\] đường.
9/50
Cho đồ thị hàm số \(y = {{\rm{e}}^x}\) và hình được tô màu như hình bên.
![Cho đồ thị hàm số \(y = {{\rm{e}}^x}\) và hình được tô màu như hình bên. a) Hình phẳng được tô màu giới hạn bởi \[3\] đường. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/01/blobid0-1735917286.png)
a) Hình phẳng được tô màu giới hạn bởi \[3\] đường.
b) Diện tích hình phẳng được tính bởi công thức \[S = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}{\rm{d}}x} \].
c) Diện tích hình phẳng \(S = e - \frac{1}{e}\).
d) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục \(Ox\) là \[V = \frac{1}{2}\pi \left( {{e^2} - \frac{1}{{{e^2}}}} \right)\].
Hình phẳng được tô màu trong hình vẽ đã cho giới hạn bởi bốn đường \(y = {e^x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1\), \(x = 1\). Diện tích hình phẳng này là \[S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{{\rm{e}}^x}} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\rm{e}}^x}} \,{\rm{d}}x\].
Ta có \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\rm{e}}^x}} \,{\rm{d}}x = \left. {{{\rm{e}}^x}} \right|_{ - 1}^1 = {\rm{e}} - \frac{1}{{\rm{e}}}\).
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục \(Ox\) là:
\[V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{e^{2x}}{\rm{d}}x = } \pi \left( {\left. {\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_{ - 1}^1} \right) = \frac{1}{2}\pi \left( {{e^2} - \frac{1}{{{e^2}}}} \right)\].
Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.