Cho đồ thị hàm số y = f(x) là đường cong như trong hình vẽ. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f(e^x) +f(x) = 1 . (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Tương giao đồ thị.

Lời giải

Từ đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x =  - 1}\end{array}} \right.\)

Khi đó \(f\left( {{e^{f\left( x \right)}} + f\left( x \right)} \right) = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{e^{f\left( x \right)}} + f\left( x \right) = 1}\\{{e^{f\left( x \right)}} + f\left( x \right) =  - 1}\end{array}} \right.\) (*)

Ta xét hàm số \(g\left( t \right) = {e^t} + t \Rightarrow g'\left( t \right) = {e^t} + 1 > 0\forall t \in \mathbb{R}\)

Bảng biến thiên

​

Khi đó \(\left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = {t_0} <  - 1}\\{f\left( x \right) = 0}\end{array}} \right.\)

Với \(f\left( x \right) = 0\) phương trình có 4 nghiệm, \(f\left( x \right) = {t_0} <  - 1\) phương trình có 2 nghiệm

Vậy phương trình có 6 nghiệm