Cho đồ thị hàm số lượng giác như hình vẽ:

76/235

Cho đồ thị hàm số lượng giác như hình vẽ: (ảnh 1)

Đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\) tại 4 điểm \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}},{\rm{D}}\) như hình vẽ. Giá trị của \({x_B} + {x_D}\) là \(\frac{a}{b}\pi \). Biết \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của \(2a + b\) là:

Đáp án: ___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Phương pháp giải

Tương giao đồ thị, giải phương trình lượng giác tìm \({x_B};{x_D}\). Từ đó tính giá trị \({x_B} + {x_D}\).

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 1 - {\rm{cos}}2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\rm{cos}}2x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 2{\bf{x}} = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \)Ta thấy \({x_A},{x_B},{x_C},{x_D}\) là bốn nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình trên.
Do đó: \({x_A} = \frac{\pi }{6};{x_B} = \frac{{5\pi }}{6};{x_C} = \frac{{7\pi }}{6};{x_D} = \frac{{11\pi }}{6} \Rightarrow {x_B} + {x_D} = \frac{8}{3}\pi \).
Vậy \(2a + b = 8.2 + 3 = 19\).
Đáp số 19.