Cho đồ thị hàm số f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3. Tính giá trị của biểu thức P = 1/f'(x1) + 1/f'(x2) + 1/f'(x3).

33/100

Cho đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + b{x^2} + cx + d\) cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2},{x_3}\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{1}{{f'\left( {{x_1}} \right)}} + \frac{1}{{f'\left( {{x_2}} \right)}} + \frac{1}{{f'\left( {{x_3}} \right)}}.\)

\(P = 3 + 2b + c\).

\(\;P = 0\).

\(P = b + c + d\).

\(P = \frac{1}{{2b}} + \frac{1}{c}\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm và biến đổi biểu thức

Giải chi tiết:

Vì \({x_1},{x_2},{x_3}\) là ba nghiệm của phương trình bậc ba \(f\left( x \right) = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\)

Ta có \(f'\left( x \right) = \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) + \left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right) + \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\).

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'\left( {{x_1}} \right) = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right)}\\{f'\left( {{x_2}} \right) = \left( {{x_2} - {x_3}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}\\{f'\left( {{x_3}} \right) = \left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right)}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(P = \frac{1}{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right)}} + \frac{1}{{\left( {{x_2} - {x_3}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}} + \frac{1}{{\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right)}}.\)

\( = \frac{{\left( {{x_2} - {x_3}} \right) - \left( {{x_1} - {x_3}} \right) + \left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)}} = 0\).