Cho đồ thị của các hàm số f(x) = −x^4 + x, g(x) = x^4 − x^3 và h(x) = a(x − x^2), (a ∈ R) tạo thành hai miền hình phẳng có diện tích S1, S2 như hình vẽ (S1 là phần màu trắng, S2 là phần được
22/22
Cho đồ thị của các hàm số \(f\left( x \right) = - {x^4} + x,\,g\left( x \right) = {x^4} - {x^3}\) và \(h\left( x \right) = a\left( {x - {x^2}} \right),\,(a \in \mathbb{R})\) tạo thành hai miền hình phẳng có diện tích \({S_1},\,{S_2}\) như hình vẽ (\({S_1}\) là phần màu trắng, \({S_2}\) là phần được tô màu). Biết \({S_1} = 2{S_2}\), hỏi giá trị của biểu thức \(1 - 30a\) bằng bao nhiêu?
Đáp án: -11
+ Xét phương trình
\(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow - {x^4} + x = {x^4} - {x^3} \Leftrightarrow 2{x^4} - {x^3} - x = 0 \Leftrightarrow x\left( {2{x^3} - {x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\).
+ \({S_1} = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) - h\left( x \right)} \right]dx = \int\limits_0^1 {\left[ { - {x^4} + x - a\left( {x - {x^2}} \right)} \right]dx = } } \int\limits_0^1 {\left[ { - {x^4} + a{x^2} - ax + x} \right]dx} \)
+ \({S_2} = \int\limits_0^1 {\left[ {h\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx = \int\limits_0^1 {\left[ {a\left( {x - {x^2}} \right) - \left( {{x^4} - {x^3}} \right)} \right]dx = } } \int\limits_0^1 {\left[ { - {x^4} + {x^3} - a{x^2} + ax} \right]dx} \)
Theo giả thiết \({S_1} = 2{S_2} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left[ { - {x^4} + a{x^2} - ax + x} \right]dx} = 2\int\limits_0^1 {\left[ { - {x^4} + {x^3} - a{x^2} + ax} \right]dx} \)
\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {{x^4} - 2{x^3} + 3a{x^2} - 3ax + x} \right]dx} = 0 \Leftrightarrow \left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{{x^4}}}{2} + a{x^3} - \frac{{3a{x^2} - {x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{1^5}}}{5} - \frac{{{1^4}}}{2} + a{.1^3} - \frac{{3.a{{.1}^2} - {1^2}}}{2} = 0 \Leftrightarrow - \frac{a}{2} + \frac{1}{5} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{2}{5}\)
+ \(1 - 30a = 1 - 30.\left( {\frac{2}{5}} \right) = - 11\).