Cho điểm M thay đổi nằm bên ngoài đường tròn (O; R). Từ M kẻ tiếp tuyến MA đến đường tròn (A là tiếp điểm). Đường thẳng qua O vuông góc với OM cắt tiếp tuyến MA tại B. Diện tích tam giác MOB

34/35

Cho điểm $M$ thay đổi nằm bên ngoài đường tròn $\left( {O;R} \right)$. Từ $M$ kẻ tiếp tuyến $MA$ đến đường tròn ($A$ là tiếp điểm). Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $OM$ cắt tiếp tuyến $MA$ tại $B$. Diện tích tam giác $MOB$ nhỏ nhất bằng

$\frac{{{R^2}}}{2}$.

${R^2}$.

$2{R^2}$.

$\frac{{{R^2}}}{4}$.

Giải thích

Đáp án đúng là: B

$Diện tích tam giác $MOB$ đạt giá trị nhỏ nhất là \( (ảnh 1)$

Xét $\Delta MOA$ vuông tại $A$ và $\Delta OBA$ vuông tại $A$ có $\widehat {AMO} = \widehat {AOB}$ (cùng phụ với $\widehat {AOM}).$

Do đó $Δ M O A ∽ Δ O B A$ (g.g).

Suy ra $\frac{{MA}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{BA}}$ nên $O{A^2} = MA \cdot AB$, hay ${R^2} = MA \cdot AB$.

Diện tích tam giác $MOB$ là: $S = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot OA = \frac{1}{2}\left( {MA + AB} \right)R$.

Theo bất đẳng thức AM-GM, tổng hai độ dài $MA + AB \ge 2\sqrt {MA \cdot AB} = 2\sqrt {{R^2}} = 2R$.

Thay vào công thức diện tích, ta có $S \ge \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot R = {R^2}$.

Diện tích tam giác $MOB$ đạt giá trị nhỏ nhất là ${R^2}$ khi $MA = AB = R$.